Title: trucos
Course: Autoaprendizaje de Diagramas de Esfuerzos

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Q: En el diagrama de la figura las cargas son P1 = {P1} KN, P2 = {P2} KN, y las longitudes son L1 = {L1} m, L2 = {L2} m.

[Image]

Resuelve el diagrama y contesta a las siguientes preguntas:

Calcular la reacción vertical en el punto A. Expresar la solución en KN. Criterio de signos para las fuerzas: hacia arriba positivo, hacia abajo negativo.
A: {P1}/2-{P2}*{L2}/2/{L1} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: Calcular la reacción vertical en el punto C. Expresar la solución en KN. Criterio de signos para las fuerzas: hacia arriba positivo, hacia abajo negativo.
A: {P1}/2+{P2}*(1+{L2}/2/{L1})
Feedback ("{P1}/2+{P2}*(1+{L2}/2/{L1})"): Una vez conoces el valor de todas las cargas puntuales (cargas externas y reacciones) ya conoces los saltos que hay que dar y puedes crear el diagrama de cortantes que es constante a trozos.
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: Calcular el momento flector en el punto B. Expresar la solución en KNm. Criterio de signos para los momentos: [Image] positivo, [Image] negativo.
A: ({P1}/2-{P2}*{L2}/2/{L1})*{L1}
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: Calcular el momento flector en el punto C. Expresar la solución en KNm. Criterio de signos para los momentos: [Image]  positivo, [Image]  negativo.
A: -{P2}*{L2}
Feedback ("-{P2}*{L2}"): Una vez tienes los flectores puedes unirlos con líneas rectas y dibujar el diagrama.
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Último intento.

Primer truco: las cargas puntuales producen saltos en los diagramas

Fíjate en el diagrama de cortantes de esta barra:

[Image]

Entre una carga puntual y otra los diagramas de cortantes son constantes, y justo en el punto de aplicación de la carga el cortante da un “salto” que justo coincide con el valor de la carga aplicada. Por ejemplo, en el punto 2 la reacción de 7.25 es igual a la suma de 3 y 4.25, el salto que da el diagrama de cortantes. En el punto 1 la carga, de 3, es igual al salto con el que se comienza el diagrama de cortantes.

Si te fijas en todos los diagramas de esfuerzos que has hecho hasta ahora, verás que siempre pasa lo mismo: una carga perpendicular a la barra da un salto en el diagrama de cortantes y una carga en dirección longitudinal a la barra da un salto en el diagrama de axiles.

¿Por qué ocurre eso? La demostración es sencilla, solo hay que hacer equilibrio en una rebanada diferencial para entenderlo. Tomemos por ejemplo la rebanada que está en el punto 1, la que tiene la carga puntual de 3 hacia abajo. El dibujo de las fuerzas que actúan sobre ella es el siguiente:

[Image]

Realizando el sumatorio de fuerzas en el eje “y” vemos que el valor del cortante es 3.

Fíjate ahora en la rebanada del punto 2:

[Image]

Haciendo sumatorio de fuerzas en “y” igual a cero se comprueba que el salto es igual a la carga puntual aplicada:

 [Image]

De igual forma, una fuerza puntual en dirección “x” da un salto en los axiles igual al valor de la carga aplicada y un momento puntual en “z” da un salto en los momentos flectores.

El truco es que, si sabes el esfuerzo que hay a la izquierda del punto, o si es cero porque es un extremo libre de la barra, puedes calcular el esfuerzo a la derecha con una simple suma o resta (según las direcciones de las cargas).

[Image]

Si te fijas en el diagrama de momentos de la barra anterior verás que no hay saltos, es una línea continua (aunque no constante), porque no hay ningún momento puntual aplicado.

[Image]

Q: Dados esta barra y sus diagramas (unidades: KN y m), completa las frases:

[Image]

La reacción vertical de la izquierda es [...] KN y la de la derecha es [...] KN. Ambas van hacia arriba.

La distancia desde el apoyo izquierdo hasta la carga de la izquierda es [...] m. La longitud total de la barra es [...] m.
A: 27.5; 32.5; 2; 6
Feedback: Mira el truco para hacer el diagrama de cortantes moviéndote de izquierda a derecha, solo hay que seguir las flechas con los valores de las cargas. [Image]
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Prueba otra vez.
  Hint: Último intento.

Segundo truco: Si el cortante es constante el momento es lineal

En la barra anterior hemos visto que los cortantes son constantes a trozos y los momentos son lineales a trozos. Con el equilibrio de la rebanada también se puede demostrar que cuando el cortante es constante el momento es lineal.

Si tomo una rebanada cualquiera entre los puntos 1 y 2, sin carga distribuida q aplicada, sus esfuerzos serán:

[Image]

Del equilibrio de fuerzas en horizontal se comprueba que el axil es el mismo a ambos lados y del equilibrio de fuerzas en vertical se obtiene que el cortante a ambos lados es también el mismo. Por eso el diagrama de cortantes de la barra del ejemplo anterior sale constante en cada tramo.

Si calculo el equilibrio de momentos respecto a un punto situado en el lado derecho de la rebanada vemos que el cortante de la izquierda produce un momento y la ecuación queda:

[Image]

En esta ecuación se ve que el momento a ambos lados es distinto, no es constante. Pero… ¿por qué es lineal? Para verlo bien hay que realizar esta cuenta de una manera un poco más matemática y formal. Voy a llamar Nx, Vy y Mz a los esfuerzos que hay en la parte dorsal de la rebanada:

[Image]

Y los esfuerzos en la derecha, que están a una pequeña distancia diferencial de x, los voy a aproximar con un desarrollo en serie de Taylor de orden uno, por lo que serán:

[Image]

Si sobre esa rebanada no actúa ninguna carga, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas quedan:

[Image]

Haciendo equilibrio de momentos respecto de la cara derecha, la frontal, se obtiene:

[Image]

Esta última ecuación indica que la derivada del momento es proporcional al valor del cortante. Recordando que la derivada de una función no es más que la pendiente de la misma…

[Image]

…podemos decir que el ángulo que forma el diagrama de momentos con la barra es proporcional al valor del cortante.

Por ejemplo, en el primer tramo del ejercicio anterior, el cortante es constante, por lo que el ángulo que la línea del momento forma con la barra, alfa, es el mismo todo el rato, quedando por lo tanto una línea recta. En el tramo intermedio el cortante es distinto, por lo que el ángulo beta es distinto, pero también constante en todo el tramo quedando una nueva línea recta.

[Image]

El truco es que, sabiendo que los momentos son lineales a trozos, no es necesario calcular la ecuación para todo x. Puedo calcular solo unos pocos valores y luego unirlos con rectas. Por ejemplo, en el ejercicio anterior solo necesito calcular los dos valores que hay debajo de las dos cargas de 30N (55Nm y 48.75Nm) y, sabiendo que en los extremos es cero porque son apoyos sin momentos, uno los cuatro puntos con tres rectas. No he tenido que calcular ninguna ley de esfuerzos, solo los esfuerzos en unos poquitos puntos.

Tercer truco: relación entre carga, cortante y momento.

¿Te acuerdas de cómo dedujimos que si el cortante era lineal el momento era cuadrático?

[Image]

Pues vamos a hacer lo mismo, pero añadiendo una carga distribuida cualquiera. Añadimos al dibujo anterior dos cargas distribuidas cualesquiera fx(x) y fy(x).

[Image]

En general fx(x) y fy(x) son variables, tienen distinto valor en distintos puntos x de la barra. Sin embargo, al equilibrar solo un trozo diferencial de la barra, la rebanada de espesor dx, podemos asumir que en ese trozo tan pequeño las fuerzas distribuidas son constantes.

Q: Realiza el equilibrio de fuerzas en horizontal y elige la ecuación correcta
- [Image] (¡Muy bien!)
- [Image] (Te has olvidado de la carga distribuida, que hace que el axil vaya variando.)
- [Image] (Has simplificado mal.)
- [Image] (Has simplificado mal.)
A: [Image]
  Hint: Escribe en un papel la ecuación de equilibrio con todos sus términos y luego simplifica.
  Hint: Pista: \( N_x+\frac{ \partial N_x}{ \partial x} dx -N_x + f_x d_x=0\)
  Hint: Último intento. Pista: \( \frac{ \partial N_x}{ \partial x} + f_x =0\)

Q: Realiza el equilibrio de fuerzas en vertical y elige la ecuación correcta
- [Image]
- [Image] (Te has olvidado de la carga vertical distribuida.)
- [Image] (Has simplificado mal.)
A: [Image]
  Hint: Haz los mismos pasos que en la pregunta anterior pero ahora con las cargas verticales.
  Hint: Prueba de nuevo

Q: La ecuación de momentos es algo más difícil porque hay que despreciar un término. Si saco momentos respecto a la cara derecha queda:

﻿﻿﻿﻿ [Image]

Por lo que la ecuación queda:
- [Image] (¡Muy bien!)
- [Image] (Ojo al signo.)
- [Image] (\( m_z \) no aparece por ningún lado.)
- [Image] (\( m_z \) no aparece por ningún lado.)
A: [Image]
  Hint: ¿Has quitado la parte despreciable?
  Hint: ¿Has simplificado bien?
  Hint: Pista: [Image]

Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en horizontal y en vertical vienen a decir que la derivada del esfuerzo es proporcional a la carga distribuida. Si lo miramos del revés, si integramos la carga distribuida, obtenemos el esfuerzo (en negativo). La idea no es que integréis, pero sí que os fijéis que si la carga distribuida es lineal (ecuación polinómica de grado 1) el correspondiente esfuerzo será cuadrático (ecuación polinómica de grado 2). De igual forma, si la carga es cuadrática (A+Bx+Cx^2), el esfuerzo será cúbico (E+Fx+Gx^2+Hx^3).

La ecuación de equilibrio de momentos, que es la misma que teníamos en el caso de solo cargas puntuales, viene a decir lo mismo, relacionando el esfuerzo flector con el esfuerzo cortante. Si el cortante es lineal, el momento será cuadrático y así sucesivamente.

[Image]

Este truco os dará pistas para saber cómo deben quedar los diagramas, pero en muchos casos, cuando las cargas distribuidas sean complicadas, no os quedará más remedio que calcular la ley de esfuerzos como antes de saber estos trucos.

Último truco: Estos dos diagramas salen mucho

Hay dos diagramas que salen muchas veces, porque son partes de otros diagramas más largos, por lo que te recomiendo que los aprendas de memoria y así no tendrás que calcularlos cada vez. Los diagramas son los que corresponden a la viga en voladizo con carga puntual o con carga distribuida:

[Image]

Q: d
- Zone 1 | Pun
- Zone 2 | Dist
- Zone 3 | Pun
Also offered: No

Q: Localiza en estas estructuras qué barras tienen diagramas de cortantes y momentos como los de la viga en voladizo con carga puntual o distribuida. Asigna a cada barra:

Pun si se asimila a los esfuerzos cortantes y flectores de la viga en voladizo con carga puntual.

Dist si se asimila a los esfuerzos cortantes y flectores de la viga en voladizo con carga distribuida constante.

No si no es ninguno de los casos anteriores.

Intenta hacerlo por lógica, pero si en alguna tienes dudas no tienes más que resolver el diagrama de esfuerzos de la estructura y mirar cómo son los cortantes y flectores en cada barra.
- Zone 1 | Pun
- Zone 2 | Pun
- Zone 3 | Dist
- Zone 4 | Pun
- Zone 5 | Dist
- Zone 6 | Pun
- Zone 7 | No
- Zone 8 | Dist
- Zone 9 | No
- Zone 10 | No
- Zone 11 | No
  Hint: Inténtalo de nuevo
  Hint: Último intento