Title: Esfuerzos
Course: Autoaprendizaje de Diagramas de Esfuerzos

Cuando una estructura de barras está sometida a determinadas cargas, éstas deben transmitirse a través de las barras hasta los apoyos o empotramientos con el suelo. En el ejemplo de la barra empotrada de la figura inferior la carga de 100KN aplicada en el extremo derecho debe recorrer toda la barra hasta llegar al empotramiento de la izquierda. Los 100KN que recorren internamente la barra son el esfuerzo.

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Los esfuerzos realmente no existen, ya que los 100KN no se transmiten a través de la barra como una carga puntual que va siguiendo la línea media de la barra, sino que todos los puntos de la barra participan en la transmisión de la carga, no solamente la línea media. En el siguiente video y figura se muestra, sobre la barra azul, la simplificación que se hace en diagramas de esfuerzos, en los que la carga F se transmite a lo largo de la línea media de la barra. En la barra de colores se muestra la distribución real que ocurre en este caso particular.

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El cálculo de cómo se transmite realmente la carga a través de la barra es más complejo que el cálculo de los esfuerzos. Sin embargo, el concepto de esfuerzo es una herramienta auxiliar muy útil que va a permitir entender cómo funciona una estructura de barras y es un paso previo y fundamental para calcular realmente cómo se transmiten las cargas a través de las barras.

El cálculo de los esfuerzos es muy sencillo: al igual que toda barra o estructura debe estar en equilibrio estático, todo trozo de barra o estructura debe estarlo. Las ecuaciones a emplear son, como en el caso de las reacciones, el sumatorio de fuerzas y de momentos igual a cero.

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Q: Vamos a probar: Si la barra de la figura, de longitud L, tiene aplicada una carga P en el extremo izquierdo, su reacción en el extremo derecho es P.

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Si en vez de tomar toda la barra tomamos únicamente un pequeño trozo de la parte izquierda, de longitud x menor que L, dando un corte ficticio a la barra y poniendo en él el esfuerzo que aparece, ¿cuánto valdrá esa fuerza interna, el esfuerzo Nx, que hace que el trozo de barra quede en equilibrio?

(Ponlo positivo si te sale en el mismo sentido que Nx, negativo si te sale al revés)

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A: P
Feedback ("P"): Era fácil, ¿verdad?
  Hint: Inténtalo de nuevo
  Hint: -P+Nx=0 Despeja Nx
  Hint: Nx=P

Q: ¿Y qué pasa si equilibramos un trozo de la parte de la derecha? ¿Cuánto vale ahora el esfuerzo Nx?

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(Ponlo positivo si te sale en el mismo sentido que Nx, negativo si te sale al revés)
A: P
Feedback ("P"): Parece fácil, pero cuidado, mucha gente se olvida de poner en este caso las reacciones (que aquí ya venían dibujadas en el empotramiento). RECUERDA: en el trozo a equilibrar hay que poner las cargas externas que actúan en ese trozo, ya sean datos conocidos o reacciones calculadas por ti, y los esfuerzos.
Feedback: Mira las dos soluciones juntas: [Image] Ambos trozos están equilibrados, en los dos casos el esfuerzo vale P, positivo, pero en uno de ellos la flecha va hacia la derecha y en el otro hacia la izquierda. Hay que tener mucho cuidado con el signo de los esfuerzos, ya que éste no se define como en las reacciones (positivo si va en el sentido positivo del eje) sino que depende también de a qué lado de la barra estamos. Por ahora no voy a definir formalmente el signo. Simplemente te voy a pedir que calcules las fuerzas que equilibran los trozos de barras y pintes en qué dirección van.
  Hint: Inténtalo de nuevo. ¿No lo habrás puesto negativo? porque es positivo
  Hint: -Nx+P=0 Despeja Nx
  Hint: Nx=P

Q: Algo un poquito más difícil: La barra de la figura, de longitud L=1 m, se encuentra empotrada en el extremo derecho. En el extremo izquierdo se aplica una carga P={P} KN y a dos tercios del empotramiento se aplica una carga Q={Q} KN.

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Calcula el esfuerzo Nx cuando realizamos el siguiente corte, con x menor que L/3. Expresa la solución en KN y con el signo correcto de acuerdo al dibujo: si el esfuerzo te sale en la misma dirección que mi dibujo, lo pones en positivo. En caso contrario lo pones negativo.

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A: {P}-0*{Q} (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("{P}-{Q}"): Incorrecto. Fíjate que en el trozo de barra que estamos equilibrando la carga Q no aparece.
Feedback ("-{P}+{Q}"): Incorrecto. Fíjate que en el trozo de barra que estamos equilibrando la carga Q no aparece.
Feedback ("-{P}-0*{Q}"): Incorrecta. Ojo con el signo.
  Hint: Inténtalo de nuevo
  Hint: -P+Nx=0 Despeja Nx
  Hint: Nx=P

Q: La barra de la figura, de longitud L=2 m, se encuentra empotrada en el extremo derecho. En el extremo izquierdo se aplica una carga P={P} KN y a dos tercios del empotramiento se aplica una carga Q={Q} KN.

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Calcula el esfuerzo Nx cuando realizamos el siguiente corte, con x mayor que L/3. Expresa la solución en KN y con el signo correcto de acuerdo al dibujo: si el esfuerzo te sale en la misma dirección que mi dibujo, lo pones en positivo. En caso contrario lo pones negativo.

[Image]
A: {P}-{Q} (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("-{P}+{Q}"): Incorrecta. Ojo con el signo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: -P+Q+Nx=0 Despeja Nx
  Hint: Último intento

En los problemas presentados hasta ahora el único esfuerzo que ha aparecido es Nx, que va en la misma dirección que la directriz de la barra y se llama esfuerzo axil.

Pero en una barra hay más esfuerzos. En un problema plano (2D) pueden aparecer tres esfuerzos, dos fuerzas y un momento. Las fuerzas son el esfuerzo axil, Nx, según la directriz de la barra, y el esfuerzo cortante, Vy, perpendicular a su directriz. El tercer esfuerzo es el momento flector, Mz, que va en la dirección perpendicular al plano 2D.

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Cada uno de los esfuerzos hace que la barra se deforme de distinta manera y que el comportamiento resistente de la misma sea distinto. Por eso es muy importante distinguir qué esfuerzos van en cada dirección. En la siguiente figura se muestra una barra sin cargas y cómo se deforma la misma cuando aplicamos un axil, un cortante o un flector.

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Aunque no los vamos a utilizar en estos cuestionarios, en general en una barra pueden aparecer hasta seis esfuerzos: los tres ya comentados, un cortante en z (Vz), un flector en y (My) y un torsor (Mx) que es un momento en la dirección del eje de la barra y que la deforma de la siguiente manera.

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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Twisted_bar.png

Ahora vas a calcular algunos problemas con esfuerzo cortante Vy y momento flector Mz.

Q: ¿Y cuánto vale el flector? Expresa la solución en KN·m y con el signo correcto de acuerdo al dibujo.
A: -{P}*{x}
Feedback ("{P}*{x}"): Incorrecta, ojo con el signo
Feedback ("-{P}*{L}"): No pregunto el momento en el empotramiento, sino el esfuerzo Mz a una distancia x.
Feedback ("{P}*{L}"): No pregunto el momento en el empotramiento, sino el esfuerzo Mz a una distancia x.
  Hint: Inténtalo de nuevo. Lo más fácil es aplicar la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto de corte.
  Hint: Mz+P*x=0
  Hint: Último intento

Q: La barra de la figura, de longitud L={L} m, se encuentra empotrada en el extremo izquierdo. En el extremo derecho se aplica una carga P={P} KN. Calcula el momento flector a una distancia de {x} m del empotramiento. Expresa la solución en KNm y con el signo correcto de acuerdo al dibujo.

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A: -{P}*({L}-{x}) (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("{P}*({L}-{x})"): Incorrecta, ojo con el signo
Feedback ("{P}*{x}"): Incorrecta, ¿has tenido en cuenta todas las reacciones del empotramiento?
Feedback ("-{P}*{x}"): Incorrecta, ¿has tenido en cuenta todas las reacciones del empotramiento?
  Hint: Inténtalo de nuevo. No te olvides de calcular primero las reacciones. [Image]
  Hint: [Image]
  Hint: [Image] Si realizas el equilibrio de momentos respecto al punto de corte te queda: PL-P*x+Mz=0 Despeja Mz.

Q: Vamos a ahora a hacer algo un poco más complicado.

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Calcula primero las reacciones verticales en los apoyos B y D y completa las respuestas:

- La reacción vertical en B es [...] KN hacia arriba.
- La reacción vertical en D es [...] KN hacia arriba.
A: 46; 14
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Igual deberías volver a repasar los cuestionarios de reacciones o pasar por tutorías

Q: Y calcula ahora algunos esfuerzos. A la hora de responder y poner la solución positiva o negativa quiero que tomes como positivos tus valores si el sentido de las flechas coincide con los de la figura. Os pongo las dos opciones, por si decides equilibrar el trozo a la izquierda del corte (como en la primera pregunta de este cuestionario) o el trozo a la derecha (como en la segunda pregunta).

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¿Cuánto vale el flector en la sección 1, a una distancia de {x} m del punto A? Expresa la solución en KN·m.

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A: -20*{x} (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("20*{x}"): Ojo al signo.
Feedback ("20"): Pregunto por el flector, no por el cortante.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: ¿Y cuánto vale el flector en la sección 2, a una distancia de {x} m del punto A? Expresa la solución en KN·m.
A: -20*{x}+46*({x}-2.5) (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("-(-20*{x}+46*({x}-2.5))"): Ojo al signo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: ¿Y cuánto vale el flector en la sección 3, a una distancia de {x} m del punto A? Expresa la solución en KN·m.
A: -20*{x}+46*({x}-2.5)-40*({x}-5.5) (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("-(-20*{x}+46*({x}-2.5)-40*({x}-5.5))"): Ojo al signo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Último intento.

En algunas ocasiones las cargas exteriores no están alineadas con la barra ni son perpendiculares a ella. En la figura de la derecha se representa la barra BCD de estructura de la izquierda con todas las cargas que actúan sobre ella. En el punto B la carga es horizontal pero la barra está inclinada, y en el punto D la carga está inclinada.

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El método de resolución es el mismo: cortar un trozo de la barra y calcular los esfuerzos mediante las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Lo único es que en estos problemas hay que proyectar las fuerzas a los ejes paralelo y perpendicular a la barra.

Sabiendo esto, ¿cuánto valen los esfuerzos en las secciones 1, 2 y 3? (signo de acuerdo a mis dibujos, unidades N y mm)

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Sugerencia: Dibuja en el papel cada uno de los cortes, calcula ángulos y acota todo lo que necesites, que ayuda bastante luego con las ecuaciones.

Q: El axil en la sección 1, a una distancia de {d1} mm en vertical del punto B, es…
A: 166.41+0*{d1} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Descompón la carga en los ejes locales de la barra [Image]
  Hint: El ángulo beta es el arcotangente de 40/60. [Image] [Image]
  Hint: Último intento.

Q: El cortante en la sección 1, a una distancia de {d1} mm en verticaldel punto B, es…
A: 249.62+0*{d1} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: El flector en la sección 1, a una distancia de {d1} mm en vertical del punto B, es…
A: 300*{d1} (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("249.62*{d1}"): Incorrecto: La distancia “d” es en vertical, no en el eje x local de la barra.
Feedback: Para calcular el flector hay dos opciones: Usar los ejes locales de la barra: [Image] [Image] Usar los ejes globales del problema: [Image] [Image] Esto se puede hacer porque es un problema plano, y el eje z local y el eje z global son el mismo, el eje perpendicular a la pantalla. Los axiles y cortantes van en los ejes locales x e y, por lo que es importante trabajar en ejes locales. El momento va en el eje local z, pero como es igual al global z puedo hacer la cuenta en globales.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Inténtalo de nuevo.
  Hint: Último intento.

Q: El axil en la sección 2, a una distancia de {d2} mm en horizontal del punto B, es…
A: 495+0*{d2} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: El cortante en la sección 2, a una distancia de {d2} mm en horizontal del punto B, es…
A: 216+0*{d2} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: El flector en la sección 2, a una distancia de {d2} mm en horizontal del punto B, es…
A: 300*60+216*({d2}-60) (formula; values not in the backup's text)
  Hint: [Image]
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: El axil en la sección 3, a una distancia de {d3} mm en horizontal del punto D, es…
A: 495+0*{d3} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: El cortante en la sección 3, a una distancia de {d3} mm en horizontal del punto D, es…
A: 264+0*{d3} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: El flector en la sección 3, a una distancia de {d3} mm en horizontal del punto D, es…
A: 264*{d3} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Q: La barra de la figura, de longitud L={L} m, se encuentra empotrada en el extremo derecho. En el extremo izquierdo se aplica una carga P={P} KN. Calcula el cortante a una distancia x = {x} m del extremo izquierdo. Expresa la solución en KN y con el signo correcto de acuerdo al dibujo.

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A: {P}+0*{L}*{x} (formula; values not in the backup's text)
Feedback ("-{P}+0*{L}*{x}"): Ojo con el signo
Feedback ("{P}*{x}"): Pregunto por el cortante, no por el flector. Y ojo con el signo.
Feedback ("-{P}*{x}"): Pregunto por el cortante, no por el flector.
  Hint: Inténtalo de nuevo.

Cuando una estructura de barras está sometida a determinadas cargas, éstas deben transmitirse a través de las barras hasta los apoyos o empotramientos con el suelo. En el ejemplo de la barra empotrada de la figura inferior la carga de 100KN aplicada en el extremo derecho debe recorrer toda la barra hasta llegar al empotramiento de la izquierda. Los 100KN que recorren internamente la barra son el esfuerzo.

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Los esfuerzos realmente no existen, ya que los 100KN no se transmiten a través de la barra como una carga puntual que va siguiendo la línea media de la barra, sino que todos los puntos de la barra participan en la transmisión de la carga, no solamente la línea media. En el siguiente video y figura se muestra, sobre la barra azul, la simplificación que se hace en diagramas de esfuerzos, en los que la carga F se transmite a lo largo de la línea media de la barra. En la barra de colores se muestra la distribución real que ocurre en este caso particular.

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The calculation of how the external load is actually transmitted through the bar is more complex than the calculation of the stresses. However, the concept of stress is a very useful auxiliary tool in understanding how a structural member works and is an essential preliminary step in calculating how loads are transmitted through bars.

¿How can you calculate the stresses in a section of a bar? It is very easy: Just as every bar or structure must be in static equilibrium, so too every piece of bar or structure must be in static equilibrium. You have to apply the same equilibrium equation in forces and moments you used to calculate the reaction, but now applied only to a piece of structure.

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