Title: Reacciones4
Course: Autoaprendizaje de Diagramas de Esfuerzos

Problemas con rótulas

¿Te acuerdas del apoyo articulado fijo? lo viste en el cuestionario Reacciones 2:

[Image]

En un apoyo articulado fijo se impiden todos los desplazamientos, y las reacciones serán solo fuerzas:

[Image: Pin connection]

_(imagen tomada de: https://www.tboake.com/SSEF1/pin.shtml_  _Terri Meyer Boake _ - University of Waterloo | _Vincent Hui _ - Ryerson University | © Copyright 2020 _Canadian Institute of Steel Construction _)

_

Este tipo de apoyo permite que la barra gire libremente en el plano, por lo que, como el movimiento de giro no está impedido, el momento en ese plano es cero. Por eso en el suelo solo hay reacciones de fuerzas, no de momentos.

En la siguiente figura puedes ver una bisagra que sujeta una puerta a un armario, permitiendo el giro en la dirección que marco con rojo. Al igual que en el caso anterior, como la puerta puede girar libremente en esa dirección no habrá ninguna reacción de momentos en esa dirección.

[Image]

Si consideramos que el armario es el "suelo", podemos decir que la bisagra es un apoyo articulado fijo.

Pero, ¿qué pasaría si el armario no fuera el "suelo", o si esta bisagra se colocara entre dos barras móviles, como las de las siguientes figuras?

[Image]

[Image]

_[ref: Compás retenedor iniba 21 abat - Rationalstock.es. Imagen tomada de https://www.rationalstock.es/catalogo/producto/cerrajeria/cierrapuertas-y-retenedores/retenedores/compas-retenedor-iniba-21-abat/15301000005 ]

A este tipo de uniones entre dos barras se les denomina en esta asignatura, rótula, y se representa con un círculo que une las dos barras:

[Image: Viga con rótula]

Q: ¿Cúal de las siguientes figuras representa correctamente el problema de la figura? Supón que el conjunto está atornillado a una pared.

[Image]

_[ref: Compás retenedor iniba 21 abat - Rationalstock.es. Imagen tomada de https://www.rationalstock.es/catalogo/producto/cerrajeria/cierrapuertas-y-retenedores/retenedores/compas-retenedor-iniba-21-abat/15301000005 ]
- [Image] (¡Correcto! Tanto en la unión de las dos barras como en sus extremos los giros son libres.)
- [Image] (Fíjate que aunque la chapa está atornillada fírmemente a la pared, la barra que llega a ella puede girar: [Image])
- [Image]
- [Image] (¡Que se te ha olvidado la rótula!)
A: [Image]
If right: Respuesta correcta
If partly right: Respuesta parcialmente correcta.
If wrong: Respuesta incorrecta.
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Último intento

Q: Venga, vamos a trabajar un poco. ¿Cuántas reacciones hay en cada uno de estos problemas?

[Image]
A: 4
Feedback ("4"): ¡Correcto! ¿Y cuántas ecuaciones de equilibrio hay? Solo tres. Entonces... si hay más reacciones que ecuaciones, ¿cómo las calculamos?
Feedback ("8"): En cada uno, no entre los dos.
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Último intento. El apoyo de la izquierda tiene solo reacción vertical y el empotramiento tiene dos fuerzas y un momento.

En el ejercicio anterior has visto que hay problemas en los que tenemos más incógnitas (reacciones) que ecuaciones (3 ecuaciones de equilibrio). En estos casos necesitas encontrar más ecuaciones, para poder tener igual número de ecuaciones que de incógnitas.

En este problema, que no tiene rótula, la ecuación adicional a buscar es complicada, hay que saber bastante de Resistencia de Materiales, y no es parte de lo que vas a aprender en este cuestionario.

[Image]

Sin embargo, este otro problema, con rótula, es fácil de resolver.

[Image]

En este primer dibujo te enseño lo que ya sabes, la estructura completa con sus cuatro reacciones:

[Image]

Si aplico las 3 ecuaciones de equilibrio a toda la estructura:

[Image]

puedo únicamente despejar la reacción horizontal (FCx=P). Para las otras tres reacciones tengo solo dos ecuaciones.

Ahora es cuando viene el truco: Separo la estructura por la rótula y pinto las reacciones (rojo) y las fuerzas internas (azul) que aparecen:

[Image]

(Como es una rótula solo aparecen fuerzas internas, no momentos internos)

Ahora me fijo en solo uno de los dos trozos, por ejemplo en el trozo izquierdo:

[Image]

Este trozo también debe estar en equilibrio, así que puedo volver a usar tres ecuaciones de equilibrio solo usando las fuerzas que aparecen en este último dibujo. Así, veo que tengo tres incógnitas con tres ecuaciones de equilibrio:

[Image]

Con estas tres ecuaciones de equilibrio de la parte de la estructura que está a la izquierda de la rótula y las tres ecuaciones de la estructura global ya tengo 6 ecuaciones que me sirven para calcular las 6 incógnitas (4 reacciones + 2 fuerzas internas).

Q: Ahora te toca a ti.

Utilizando las tres ecuaciones de equilibrio global del ejemplo anterior, y la ecuación de momentos de la parte izquierda de la estructura, calcula las tres reacciones.

[Image]

[Image] (escribe tú las expresiones del equilibrio global)

[Image]

[Image]

NOTA PARA LAS RESPUESTAS: El símbolo ^ indica "elevado a...". Así, por ejemplo, qL^4/2 quiere decir \( \frac{q L^4}{2} \)
- FA | qL/2
- FCx | P
- FCy | qL/2
- Memp | qL^2/2
Also offered: PL; PL/2; q; qL; qL^2; qL^2/4; qL^4/2
If right: Respuesta correcta
If partly right: Respuesta parcialmente correcta.
If wrong: Respuesta incorrecta.
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Prueba de nuevo
  Hint: Último intento

Antes hemos dicho que el problema tenía seis ecuaciones con seis incógnitas, pero fíjate que para calcular las cuatro reacciones solo he utilizado cuatro ecuaciones, las tres del equilibrio global y solo la de momentos respecto de la rótula de un trozo de la estructura. Las dos ecuaciones restantes, equilibrio de fuerzas en un trozo de la estructura, las usaría si me interesara calcular las fuerzas internas (las azules), pero en general esos dos valores no me interesan.

Fíjate también que la ecuación de momentos de un trozo de la estructura la hemos obtenido respecto de la rótula. Esto lo hacemos así para que las fuerzas internas no hagan ningún momento (su distancia al punto donde tomo momentos es cero), no aparezcan en la ecuación, y el sistema de ecucaciones sea más fácil de resolver.

Por lo tanto, normalmente, para resolver un problema con una rótula, utilizaremos:

- Las tres ecuaciones de equilibrio de la estructura completa.
- Dividiendo la estructura en dos trozos por la rótula, usaremos uno de los dos trozos (cualquiera) y plantearemos que el sumatorio de momentos respecto a la rótula de todas las fuerzas que actúan en ese trozo son cero.

(hay otras maneras de resolverlo, pero eso ya lo irás descubriendo con la práctica).

Q: Calcula las reacciones de la siguiente estructura, donde L={L} m, P={P} KN y q={q} KN/m.

[Image]

¿Cuánto vale la reacción horizontal en el apoyo inferior? (criterio de signos: positivo hacia la derecha, negativo hacia la izquierda)
A: -{P}/4+0*{q}+0*{L} (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Una manera rápida de obtenerlo es quedarte con la barra vertical (desde el apoyo inferior hasta la rótula) y hacer momentos respecto de la rótula.
  Hint: [Image]
  Hint: [Image]
  Hint: -P/4

Q: ¿Cuánto vale la reacción horizontal en el apoyo superior? (criterio de signos: positivo hacia la derecha, negativo hacia la izquierda)
A: -3*{P}/4+0*{L}+0*{q}
  Hint: Como ya sabes la reacción horizontal en el apoyo inferior, aplica la ecuación de equilibrio de fuerzas en horizontal de toda la estructura.
  Hint: Si tienes aplicada P hacia la derecha, y en la reacción de abajo te salía P/4 hacia la izquierda, ¿cuánto vale la reacción que te falta arriba?
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: -3P/4

Q: ¿Cuánto vale la reacción vertical en el apoyo superior? (criterio de signos: positivo hacia la arriba, negativo hacia la abajo)
A: {q}*{L}/2+0*{P}
  Hint: Utiliza, por ejemplo, la ecuación de momentos respecto al apoyo de abajo.
  Hint: [Image]
  Hint: Recuerda que, para calcular las reacciones, podemos cambiar la carga distribuida por su carga puntual equivalente. [Image]
  Hint: qL/2

Q: Y, por último, ¿cuánto vale la reacción vertical en el apoyo inferior? (criterio de signos: positivo hacia la arriba, negativo hacia la abajo)
A: {q}*{L}/2+0*{P}
  Hint: Ya sólo te queda utilizar la ecuación de equilibrio de fuerzas en vertical.
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Otra vez.
  Hint: qL/2

Q: Último ejercicio de reacciones. Calcula las reacciones de esta estructura. Da los resultados en T y m y con el criterio de signos habitual: positivo hacia arriba, derecha y antihorario.

[Image]

La reacción horizontal en A es [...] T, la reacción vertical en A es [...] T, la reacción vertical en B es [...] T y la reacción vertical en C es [...] T.
A: 0; 0.5; 3.75; -0.25
  Hint: Prueba de nuevo.
  Hint: Prueba de nuevo.

¿Do you remember the pinned support? you saw it in the "Reactions 2" questionarie:

Pinned support allows the structural member to rotate, but not to translate in any direction. Thus, the reactions will be only forces:

            [Image]         [Image]

The type of support showed in the figure allows the bar to rotate freely in the plane, so as the rotation movement is not impeded, the moment in that plane is null. That is why there are only force reactions, not moment reactions.

In the following figure you can see a hinge that holds a door to a cabinet wall, allowing it to rotate in the direction indicated with the red arrow. As in the previous case, since the door can rotate freely in that direction, there will be no moment in that direction.

[Image]

If the cabinet side is considered as the "floor" and the door as the structural element, the hinge can be considered as an pinned support.

But, what would happen if the cabinet side was not not the “floor”, or if this hinge was placed between two mobile bars, like the ones in the following figures?

[Image]

[Image: pin]

This type of joint between two bars is called a pin and is represented by a circle joining the two bars:

[Image: da]