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<span xmlns:dct="http://purl.org/dc/terms/" property="dct:title">Python en ciencias e ingeniería: tutoriales basados en ejemplos</span> por <span xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" property="cc:attributionName">Sergio Gutiérrez Rodrigo y Adrián Navas Montilla</span> se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Programa de Recursos en Abierto en la UZ (2022)

Python en ciencias e ingeniería: tutoriales basados en ejemplos

Universidad de Zaragoza

PRAUZ-739

Condensador en proceso de carga

  • El siguiente ejercio no es uno más dentro del Electromagnetismo. Se puede considerar como uno de los problemas canónicos, ya que sirve para entender cómo el Electromagnetismo está incompleto si no se incluyen las corrientes de polarización, debidas al genio de J.C. Maxwell.
  • Al final del notebook se ha incluido unas notas que resumen las ecuaciones de Maxwell.

Enunciado del problema

En la figura se muestra el perfil de un condensador de placas plano paralelas, circulares y de radio $a$. El condensador se carga lentamente mediante una corriente $I$.

  • (a) Obtener la corriente de polarización entre las placas del condensador.
  • (b) Calcular el campo magnético en todas las regiones del espacio.
  • (c) Comprobar que se cumplen las condiciones de contorno para el campo magnético en la separación entre regiones.

image.png

Solución analítica

(a) Campo confinado únicamente entre las placas: $$ \mathbf{E}=\frac{\sigma_{\text {cond}}}{\varepsilon_{0}} \hat z=\frac{q}{\varepsilon_{0} \pi a^2} \hat z$$

Deplazamiento eléctrico: $$ \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}=\frac{q}{ \pi a^2} \hat z $$

Si el condensador se carga a ritmo constante mediante una corriente $I=dq/dt$ y asumiendo que la carga se distribuye sobre la superficie de la placa de forma instantánea (razonable si el ritmo de carga es mucho menor que el tiempo de relajación del conductor).

Entoces la corriente de desplazamiento es:

$$ \mathbf{J}_{\text{pol}}= \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}=\frac{I}{ \pi a^2} \hat z $$

Siendo la corriente de polarización:

$$I_{\text{pol}}=\int_A \mathbf{J}_{\text{pol}} \cdot \hat n da=\int_A \frac{I}{ \pi a^2} \hat z \cdot \hat n da = I $$

(b) Cálculo de $\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)$

Aproximación:

  • $\mathbf{H}=H_\varphi(\rho) \hat \varphi \rightarrow$ placas circulares y corriente $I$ a lo largo de la dirección $z$

Utilizando la ley de Ampère en este caso, $$ \oint_{C} \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s} =\int_{A}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)+\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}(\mathbf{r}, t) \right]\cdot \mathbf{n} d a=\int_A \left[ \mathbf{J}_{\text{cond}}+\mathbf{J}_{\text{pol}} \right]\cdot \mathbf{n} d a$$ intengrando en una trayectoria circular perpendicular de radio $\rho$ con centro en el eje $z$, se obtiene: $$H_\varphi(\rho)=\frac{I_{\text{pol,enc}}+I_{\text{cond,enc}}}{2\pi \rho}$$

Si dividimos el espacio en las siguientes regiones

image.png

entonces los resultados son:

Región 3 y 4

$I_{\text{pol,enc}}=0$ y $I_{\text{cond,enc}}=I \rightarrow$ $H_\varphi(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}$

Región 2

$I_{\text{pol,enc}}=I_{\text{pol}}=I$ y $I_{\text{cond}}=0 \rightarrow$ $H_\varphi(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho} (\rho > a)$

Región 1

$I_{\text{cond}}=0$ y $I_{\text{pol,enc}}/I_{\text{pol}}=I_{\text{pol,enc}}/I=\pi \rho^2/\pi a^2=\rho^2/a^2 \rightarrow$ $H_\varphi(\rho)=\frac{I \rho}{2\pi a^2} (\rho \le a)$

c) Según las condiciones de contorno para el campo magnético

$\hat n \times (\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{K}$ o ${H}_{2t}-H_{1t}=\mathbf{K} \times \hat n $

Aquí la componente tangencial es $H_{t}=H_\varphi(\rho)$

  • Entre las regiones 3 y 2 y 2 y 4 la corriente superficial de carga es cero y por lo tanto el campo mágnetico es continuo.
  • Entre las regiones 1 y 3 (1 y 4) la corriente superficial de carga no es cero.
  • Para hacer el cálculo podemos suponer que la carga se distribuye instantáneamente y de forma uniforme en las placas.
  • Por simetría $\mathbf{K}$ debe ser radial, $\mathbf{K}=K(\rho) \hat \rho$, como se representa en la figura de abajo.

image.png

  • El flujo de carga ($C/s$) que entra a través de la superficie delimitada por $\rho$ es $\Phi_S=\int K da=2 \pi \rho K$
  • En un instante $\Delta t$ la carga que entra y se distribuye en las placas debe ser:
    • por un lado $2 \pi \rho K \Delta t$
    • por el otro $\Delta\sigma (\pi a^2 - \pi \rho^2)=\frac{\Delta q}{\pi a^2}(\pi a^2 - \pi \rho^2)=I \Delta t(1 - \rho^2/a^2)$, ya que $\Delta q=I \Delta t$
  • De igualar estas expresiones se obtiene que
$$K(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho} (1 - \rho^2/a^2)$$
  • Como $\hat \rho \times \hat z =- \hat \varphi$ y $\vert {H}_{1}-H_{3} \vert=K(\rho)$ se cumplen las condiciones de contorno

Representación gráfica

Funciones auxiliares para representación gráfica

In [ ]:
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.axes_grid1 import make_axes_locatable
import numpy as np
from math import pi

def plot_field_radial(field,Rcore_ini,Rcore_fin,Rmax=10.0):    
    N=300
    R_core_l1 = np.linspace(Rcore_ini,Rcore_fin , N)
    R_core_l2 = np.linspace(-Rcore_ini,-Rcore_fin , N)
    R_cladding_l1=np.linspace(Rcore_fin, Rmax, N)
    R_cladding_l2=np.linspace(-Rcore_fin,-Rmax, N)
    from numpy import pi
    xcore1=R_core_l1
    xcore2=R_core_l2
    xcladding1=R_cladding_l1
    xcladding2=R_cladding_l2
    ycore1=np.abs(field(xcore1,pi/4.0))
    ycore2=np.abs(field(xcore2,pi/4.0))
    ycladding=np.abs(field(xcladding1,pi/4.0))
        
    # Along a given direction
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(4,4))
    ax.plot(xcore1,ycore1)
    ax.plot(xcore2,ycore2)
    ax.plot(xcladding1,ycladding)
    ax.plot(xcladding2,ycladding)
    ax.set_xlabel(r'$\rho$')    
    plt.rc('lines',marker='o', linewidth=0.5, markersize=1)
    plt.show()        
    pass

def plot_field_polar(field_func,Rcore_ini,Rcore_fin,Rmax=10.0):   
    # Using linspace so that the endpoint of 360 is included
    N=300
    phi_core_l = np.radians(np.linspace(0, 360, N))
    R_core_l = np.linspace(Rcore_ini, Rcore_fin, N)
    phi_cladding_l = np.radians(np.linspace(0, 360, N))
    R_cladding_l = np.linspace(Rcore_fin, Rmax, N)
    # Creates a mesh (R,phi)
    R_core, phi_core = np.meshgrid(R_core_l, phi_core_l)
    R_cladding, phi_cladding = np.meshgrid(R_cladding_l, phi_cladding_l)    
    
    #Field(R,phi)    
    core = field_func(R_core,phi_core)
    cladding= field_func(R_cladding,phi_cladding)
    vmaxcore=np.max(np.abs(core))
    vmaxcladding=np.max(np.abs(cladding))    
    field_max=max(vmaxcore,vmaxcladding)
    
    R=np.hstack((R_core,R_cladding))    
    phi=np.hstack((phi_core,phi_cladding))    
    field=np.hstack((core,cladding))
    print(np.max(field))
    #Plot
    print("max=",field_max)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(3,3),dpi=100,
                           subplot_kw=dict(projection='polar'))
    img=ax.contourf(phi, R,field,cmap='bwr')        
    ax.set_theta_offset(pi/2.0)
    ax.set_title(field_func.__name__,loc= 'left')          
    plt.colorbar(img)
    plt.show() 
    pass  

def plot_field_vector(field,Rcore_ini,Rcore_fin):
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    plt.rcParams["figure.figsize"] = [7.50, 3.50]
    plt.rcParams["figure.autolayout"] = True
    radii = np.linspace(Rcore_ini, Rcore_fin, 4)
    thetas = np.linspace(0, 2 * np.pi, 12)
    theta, r = np.meshgrid(thetas, radii)    
    f = plt.figure()
    #Componentes polares
    urho,uphi=field(r,theta)    
    # Componentes cartesianas
    ux=urho*np.cos(theta)-uphi*np.sin(theta)
    uy=urho*np.sin(theta)+uphi*np.cos(theta)
    #ux=ux/np.sqrt(ux**2+uy**2)
    #uy=uy/np.sqrt(ux**2+uy**2)

    ax = f.add_subplot(polar=True)
    ax.quiver(theta, r, ux,uy) # Hay que pasarle coordenadas en polares pero
                               # vector en cartesianas
    plt.show()   
    pass

Definición de funciones: $H_\varphi(\rho)$, $\mathbf{K}=K(\rho) \hat \rho$ y condiciones de contorno

In [ ]:
import numpy as np
from math import pi 
# Parámetros del ejercicio
a= 0.1 # metros
I= 0.1 # A

# H región 1 y 2
def H12(r,phi):         
  if(np.max(r)<=a):
      return I*r/(2.0*pi*a**2)
  else:
      return I/(2.0*pi*r)

# H región 3 y 4 
def H34(r,phi):         
  return I/(2.0*pi*r)

# Corriente superficial de carga K
def K(r,phi):
  rho=I*(1.0-(r/a)**2)/(2.0*pi*r)
  phi=0.0
  return rho,phi

# Corriente superficial de carga K (componente radial)
def kr(r,phi):
  urho,uphi=K(r,phi)
  return urho

# Condiciones de contorno entre región 1-3 y 2-3
def cond_contorno(r,phi):
  return H12(r,phi)-H34(r,phi)

Representación polar de $H_\varphi(\rho)$ (región 1 y 2).

In [ ]:
max_field=plot_field_polar(H12,Rcore_ini=0.0,Rcore_fin=a,Rmax=3.0*a)
plot_field_radial(H12,Rcore_ini=0.0,Rcore_fin=a,Rmax=2.0*a)

0.15915494309189535
max= 0.15915494309189535

Representación polar de $H_\varphi(\rho)$ (región 3 o 4).

In [ ]:
max_field=plot_field_polar(H34,Rcore_ini=0.01*a,Rcore_fin=a,Rmax=3.0*a)
plot_field_radial(H34,Rcore_ini=0.0,Rcore_fin=a,Rmax=2.0*a)

15.915494309189533
max= 15.915494309189533

/usr/local/lib/python3.7/dist-packages/ipykernel_launcher.py:16: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
  app.launch_new_instance()

Condiciones de contorno: $H_1 - H_3$ vs $H_2 - H_3$, en función de $\rho$.

In [ ]:
plot_field_polar(cond_contorno,Rcore_ini=0.2*a,Rcore_fin=a,Rmax=2.0*a)
plot_field_radial(cond_contorno,Rcore_ini=0.2*a,Rcore_fin=a,Rmax=2.0*a)

print("H12-H34")
print('rho <= a',H12(r=0.5*a,phi=0.0)-H34(r=0.5*a,phi=0.0))
print('rho > a',H12(r=2.0*a,phi=0.0)-H34(r=2.0*a,phi=0.0))

0.0
max= 0.7639437268410976

H12-H34
rho <= a -0.238732414637843
rho > a 0.0

Corriente superficial de carga $\mathbf{K}=K(\rho) \hat \rho$

In [ ]:
plot_field_vector(K,Rcore_ini=0.3*a,Rcore_fin=a)
plot_field_radial(kr,Rcore_ini=0.04*a,Rcore_fin=a,Rmax=1.0*a)

Repaso de las ecuaciones de Maxwell

Electromagnetismo microscópico y macroscópico

Densidad de carga $\rho$ y densidad de corriente $\mathbf{J}$ : $$ \begin{aligned} &\rho(\mathbf{r})=\sum_{\mathrm{n}} \mathrm{q}_{\mathrm{n}} \delta\left[\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\mathrm{n}}\right] \\ &\mathbf{J}(\mathbf{r})=\sum_{\mathrm{n}} \mathrm{q}_{\mathrm{n}} \dot{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}} \delta\left[\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\mathrm{n}}\right] \end{aligned} $$ En función de las cargas discretas $\mathrm{q}_{\mathrm{i}}$, en la posición $\mathbf{r}_{\mathrm{n}}$.

$\mathbf{r}_{\mathrm{n}}$ = vector de posición de la $n$th carga y $\dot{\mathbf{r}}_{\mathrm{n}}=\mathbf{v}_{\mathrm{n}}$ su velocidad.

La fuerza de Lorentz queda, tras integrar: $$ \mathbf{F}(\mathbf{r}, t)=\int_{V}[\rho(\mathbf{r}, t) \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)] \mathrm{d} V $$ siendo $V$ el volumen que contiene todas las cargas $q_{\mathrm{n}}$.

image.png

Electrodinámica pre-Maxwelliana

Ecuaciones "pre-Maxwellianas" $$ \begin{array}{l} \oint_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V & \text {Ley de Gauss (Cavendish 1772) } \\ \oint_{C} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a & \text { Ley de Faraday (Faraday 1825) } \\ \oint_{C} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=\mu_{0} \int_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a & \text { Ley de Ampère (Oersted 1819) } \\ \oint_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=0 & \text { } \end{array} $$

  • $V$ es el volumen compuesto de elementos $d V$.
  • $A$ es la superficie compuesta por elementos diferenciales $da$.
  • $C$ la circulación a lo largo del perímetro de la superficie abierta $A$.
  • $d \mathbf{s}$ es un elemento infinitesimal de línea.
  • $\mathbf{n}$ es el vector unitario normal a $A$.

Las constantes son: $$ \begin{aligned} &\mu_{0}=4 \pi 10^{-7} \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}=1.256637010^{-6} \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}} \text { (permeabilidad magnética) } \\ &\varepsilon_{0}=8.854187810^{-12} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} \text { (permitividad eléctrica) } \end{aligned} $$

image.png

Leyes de Kirchhoff a partir de las ecuaciones de Maxwell. La base de la teoría de circuitos y el diseño electrónico.

  • Consideremos la ley de Ampère en las caras de un cubo arbitrariamente pequeño.
  • $\oint_{C} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}$ en caras opuestas tienen aprox. el mismo valor pero con signo contrario.
  • La suma de las circulaciones de cada par de caras enfrentadas es cero.

Por lo tanto: $$ \oint_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=0 \quad \text { } $$

  • Lo mismo ocurre con la ley de Faraday, $\oint_{C} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}$, si no existen campos magnéticos dependientes del tiempo.

En este caso $$ \oint_{C} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=0 \quad $$

image.png

Corriente de desplazamiento

image.png

Cuando el campo électrico cambia con el tiempo lo expresado en el apartado lleva a una contradicción, como demuestra el experimento meental de arriaba: $$ \oint_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a \neq 0 $$

Corrección conservación de corriente: $$ \oint_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V $$

Maxwell modificó la ley de Ampère añadiendo un nuevo término $$ \oint_{C} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=\mu_{0} \int_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a+\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a $$

Donde se define la corriente de desplazamiento como: $$\varepsilon_{0} \partial \mathbf{E} / \partial t$$

Repitiendo el ejercicio mental previo, integrando sobre un cubo diferencial obtenemos: $$ \mu_{0} \oint_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a+\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial}{\partial t} \oint_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=0 . $$

Pero como $$\oint_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V$$

Y por lo tanto:

$$ \begin{array}{} \oint_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V \\ \oint_{C} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a\\ \oint_{C} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=\mu_{0} \int_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a+\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a \\ \oint_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=0 \end{array} $$

Interacción entre los campos EM y la materia

Hasta el momento hemos discutido las propiedades de los campos EM $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ en vacío.

  • Las fuentes de estos campos son las cargas $\rho$ y corrientes $\mathbf{J}$ (fuentes primarias).
  • $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ pueden interactuar con los materiales dando lugar a cargas y corrientes inducidas (fuentes secundarias).

Las fuentes secundarias las podemos introducir como: $$ \rho_{\mathrm{tot}}=\rho+\rho_{\mathrm{pol}} $$

  • $\rho$ es la carga asociada con las fuentes primarias.
  • Se asume que estas fuentes no se ven afectadas por los campos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$.
  • $\rho_{\text {pol }}$ es la densidad de carga inducida en la materia por interacción con el campo eléctrico (densidad de carga de polarización)

Se introduce el vector polarización $\mathbf{P}$ para tener en cuenta a $\rho_{\text {pol }}$. Por analogía con la ley de Gauss: $$ \oint_{A} \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=-\int_{V} \rho_{\mathrm{pol}}(\mathbf{r}, t) d V $$ [$\mathbf{P}$]=$\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}$.

Insertando las expresiones anteriores en la ley de Gauss $$\oint_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho_{tot}(\mathbf{r}, t) d V $$ se obtiene: $$ \oint_{A}\left[\varepsilon_{0} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{P}(\mathbf{r}, t)\right] \cdot \mathbf{n} d a=\int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V $$ La expresión entre corchetes es el desplazamiento eléctrico: $$ \mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} $$

La variación temporal de las densidad de carga da lugar a corrientes de polarización. $$ \oint_{A} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho_{\mathrm{pol}}(\mathbf{r}, t) d V, $$ Si la comparamos con la ecuación de conservación de la corriente, $$ \oint_{A} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V $$

se identifica $\partial \mathbf{P} / \partial t$ como la corriente de polarización del material. $$ \mathbf{J}_{\mathrm{pol}}(\mathbf{r}, t)=\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) $$

La dinámica de las fuentes secundarias de polarización depende de las propiedades materiales:$[\mathbf{P}=f(\mathbf{E})]$.

La densidad de corriente debe incluir también corrientes debidas a cargas libres, $\mathrm{J}_{\text {cond }}$. Entonces: $$ \mathbf{J}_{\text {tot }}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{J}_{0}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\text {cond }}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\mathrm{pol}}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\mathrm{mag}}(\mathbf{r}, t) $$ donde $\mathbf{J}_{0}$ es la densidad de corriente de las fuentes de campo EM. Para simplificar se define: $$ \mathbf{J}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{J}_{0}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\text {cond }}(\mathbf{r}, t) $$ De esta forma:

  • $\mathbf{J}$ es la densidad de corriente de las cargas libres (sin importar su origen).
  • $\mathbf{J}_{\mathrm{pol}}$ es la densidad de corriente de las cargas ligadas, cargas que experimentan fuerzas centrales. +$\mathbf{J}_{\mathrm{mag}}$ es la densidad de corriente debida a cargas "circulantes", asociadas a momentos magnéticos.

Introduciendo las corrientes $$ \mathbf{J}_{\text {tot }}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\mathrm{pol}}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{J}_{\mathrm{mag}}(\mathbf{r}, t) $$

en la ley de Ampère $$ \oint_{C} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=\mu_{0} \int_{A} \mathbf{J}_{\text {tot }}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a+\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a $$ se obtiene: $$ \oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s}=\mu_{0} \int_{A}\left[\mathbf{J}+\left(\mathbf{J}_{\mathrm{pol}}+\varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}\right)+\mathbf{J}_{\mathrm{mag}}\right] \cdot \mathbf{n} d a $$

Si tenemos en cuenta que:

  • $\partial \mathbf{D} / \partial t=\mathbf{J}_{\mathrm{pol}}+\varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}$
  • La magnetización inducida se puede escribir como: $ \oint_{C} \mathbf{M}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s}=\int_{A} \mathbf{J}_{\operatorname{mag}}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a $ siendo $\mathrm{M}$ la magnetización, se obtiene que:
$$ \oint_{C}\left[\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M}\right] \cdot d \mathbf{s}=\int_{A}\left[\mathbf{J}+\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}\right] \cdot \mathbf{n} d a $$

Se define el campo magnético como: $$ \mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M} $$ que tiene unidades de $A / m$.

La magnitud y la dinámica de las corrientes de magnetización dependen de las propiedades del material $[\mathbf{M}=f(\mathbf{B})]$.

Ecuaciones de Maxwell en su forma general

Las ecuaciones de Maxwell en su forma integral quedan como:

$$ \begin{aligned} \oint_{A} \mathbf{D}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a &=\int_{V} \rho(\mathbf{r}, t) d V \\ \oint_{C} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s} &=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a \\ \oint_{C} \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s} &=\int_{A}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)+\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\right]\cdot \mathbf{n} d a \\ \oint_{A} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a &=0 \end{aligned} $$

El desplazamiento eléctrico $\mathrm{D}$ y la inducción magnética $\mathbf{B}$ dan cuenta de las fuentes secundarias a través de las siguientes expresiones:

$$ \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_{0} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{P}(\mathbf{r}, t), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\mu_{0}[\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{M}(\mathbf{r}, t)] $$
  • Son válidas siempre ya que no se han hayado para un material particular.
  • Para resolver las ecuaciones de Maxwell es necesario determinar las propiedades materiales codificadas en $\mathbf{P}$ y $\mathbf{M}$, llamadas relaciones constitutivas. En la mayoría de los materiales esta relación viene dada como: $\mathbf{P}=f(\mathbf{E})$ and $\mathbf{M}=f(\mathbf{B})$ (excepciones: p.ej. materiales bi-isotrópicos).

Mediante los teoremas de Stokes y Gauss se pueden reescribir las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial.

$$ \begin{aligned} \oint_{A} \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) \cdot \mathbf{n} d a &=\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) d V \quad \text { Teorema de Gauss} \\ \oint_{C} \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{s} &=\int_{A}[\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r}, t)] \cdot \mathbf{n} d a \quad \text { Teorema de Stokes } \end{aligned} $$

Por ejemplo, aplicando el teorema de Gauss a la primera integral queda

$$ \int_{V}[\nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)-\rho(\mathbf{r}, t)] d V=0 $$

El resultado debe ser válido para cualquier volumen $V$. Eso solo es posible si el integrando es cero, esto es,

$$ \nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\rho(\mathbf{r}, t) $$$$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{r}, t) &=\rho(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=-\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)+ \mathbf{J}(\mathbf{r}, t)\\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=0 \end{aligned} $$

La ley de conservación de la carga está continuidad implícitamente en las ecuaciones de Maxwell.

Tomando la divergencia de $$ \begin{aligned} \nabla \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) =\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)+ \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) \end{aligned} $$

  • sabiendo que $\nabla \cdot \nabla \times \mathrm{H}=0$
  • $\nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{r}, t) =\rho(\mathbf{r}, t) $

Se obtiene la ecuación de continuidad $$ \nabla \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}, t)+\frac{\partial}{\partial t} \rho(\mathbf{r}, t)=0 $$ consistente con la forma integral derivada previamente.

Las condiciones de frontera se pueden obtener utilizando las ecuaciones de Maxwell (están contenidas en ellas):

$$ \begin{aligned} \hat n \cdot (\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1) &= \sigma \\ \hat n \times (\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)&= 0 \\ \hat n \cdot (\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1) &= 0 \\ \hat n \times (\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)&=\mathbf{K} \\ \end{aligned} $$
  • $\hat n$ va de la región 1 a la 2.
  • $\sigma$ densidad superficial de carga libre.
  • $\mathbf{K}$ corriente superficial de carga libre.

Estas expresiones se pueden escribir en función de otros campos utilizando las relaciones constitutivas $$ \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_{0} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{P}(\mathbf{r}, t), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\mu_{0}[\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)+\mathbf{M}(\mathbf{r}, t)] $$

Ecuaciones de Maxwell para medios i.h.l

Hay medios que, bajo ciertas restricciones, pueden describirse mediante una relacion lineal entre los campos ($\mathrm{E}$ y $\mathrm{H}$) y la respuesta del material, el desplazamiento eléctrico $\mathrm{D}$ y la inducción magnética $\mathbf{B}$:

$$ \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}(\mathbf{r}, t), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\mu_{0} \mu\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) $$

donde $\varepsilon$ y $\mu$ son la permitividad eléctrica y permeabilidad magnéticas relativas.

Si además la corriente libre debida a la conductividad del material se asume de igual forma lineal con el campo eléctrico: $\mathbf{J}_{\text {cond }}(\mathbf{r}, t) =\sigma \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ y por lo tanto: $$ \mathbf{J}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{J}_{0}(\mathbf{r}, t)+\sigma \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) $$ ($\mathbf{J}_{0}$ es la densidad de corriente de las fuentes de campo EM), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como:

$$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=\rho(\mathbf{r}, t)/\varepsilon_{0}\varepsilon \\ \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=-\mu_{0}\mu \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\varepsilon_{0}\varepsilon\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+ \mathbf{J}_{0}(\mathbf{r}, t)+\sigma \mathbf{E}(\mathbf{r}, t))\\ \nabla \cdot \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=0 \end{aligned} $$

En medios i.h.l no dipersivos y con respuesta local $\varepsilon,\mu \text{ y } \sigma$ son constantes.

$^{*}$Estrictamente, solo el vacío.

Aproximación lineal

  • Las ecuaciones de Maxwell definen los campos generados por corrientes y cargas. Sin embargo, no describen como éstas son generadas.
  • Para resolver de forma auto-consistente las ecuaciones de Maxwell es necesario tener una descripción precisa del comportamiento de la materia bajo la influencia de los campos EM.
  • Para obtener una descripción completa de la física se da validez a las ecuaciones de Maxwell y se ajustan las relaciones constitutivas (obtenidas experimentalmente o desde la teoría atómica).
  • Las relaciones constitutivas relacionan las fuentes secundarias, $\mathbf{P}$ y $\mathbf{M}$, con los campos EM $\mathbf{E}$ y $\mathbf{H}$: $\mathbf{P}=f[\mathbf{E}]$ y $\mathbf{M}=f[\mathbf{H}]$.
  • Esto último es equivalente a $\mathbf{D}=f[\mathbf{E}]$ y $\mathbf{B}=f[\mathbf{H}]$.

Expandiendo $\mathbf{D}$ en serie de Taylor, vemos que el término de orden menor es lineal con $\mathbf{E}$ $$ D=D_{0}+\left.\frac{\partial D}{\partial E}\right|_{D=0} E+\left.\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} D}{\partial E^{2}}\right|_{D=0} E^{2}+\ldots $$

image.png

La forma más general de relacionar $\mathbf{D}$ y $\mathbf{E}$ se puede escribir como: $$ \mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_{0} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \tilde{\varepsilon}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}, t-t^{\prime}\right) \mathbf{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \mathrm{d}^{3} \mathbf{r}^{\prime} \mathrm{d} t^{\prime}, $$

  • La causalidad (no existe respuesta antes de la excitación) fija el intervalo inferior de la integral, $t^{\prime}=0$.
  • Un material es dispersivo si la función respuesta,$\tilde{\varepsilon}$, depende de $t$.
  • Un material tiene propiedades no locales si su respuesta en $\mathbf{r}$ depende de lo que ocurre en otras posiciones.

La expresión anterior es una convolución en espacio y tiempo. Usando las propiedades de la transformada de Fourier en tal caso es posible escribir $$ \hat{\mathbf{D}}(\mathbf{k}, \omega)=\varepsilon_{0} \varepsilon(\mathbf{k}, \omega) \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{k}, \omega), $$ donde $\varepsilon$ es la transformada de Fourier de $\tilde{\varepsilon}$.

La mayoría de los materiales no tienen comportamiento no-local, de ahí que: $$ \hat{\mathbf{D}}(\mathbf{r}, \omega)=\varepsilon_{0} \varepsilon(\omega) \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, \omega), $$ siendo $\varepsilon(\omega)$ la constante dieléctrica o permitividad dieléctrica relativa.

Lo mismo ocurre con el campo magnético, $$ \hat{\mathbf{B}}(\mathbf{r}, \omega)=\mu_{0} \mu(\omega) \hat{\mathbf{H}}(\mathbf{r}, \omega), $$ donde $\mu(\omega)$ es la permeabilidad magnética relativa.

Para campos que varían como una función armónica, por ejemplo, $\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, \omega)=e^{-\imath \omega t}{\mathbf{E}}(\mathbf{r})$, se llega a que. $$ \mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon_{0} \varepsilon(\omega) \mathbf{E}(\mathbf{r}), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0} \mu(\omega) \mathbf{H}(\mathbf{r}) $$

Finalmente, si $\varepsilon(\omega)=\varepsilon$ y $\mu(\omega)=\mu$ se llega a: $$ \mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}(\mathbf{r}), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0} \mu\mathbf{H}(\mathbf{r}) $$

image.png

Conservación de la energía. Teorema de Poynting

Energía y ecuaciones de Maxwell

  • Las ecuaciones de Maxwell no contienen información sobre el contenido de energía en el campo.
  • Para ello se define el teorema de Poynting, una relación "plausible" entre el campo EM y su contenido energético.

Teorema de Poynting

Si se multiplica escalarmente por $\mathrm{E}$ la ley de Farday y se le resta el producto escalar de $\mathbf{H}$ por la ley de Ampère se obtiene: $$ \mathbf{H} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})-\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=-\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}-\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} . $$

  • La expresión de la izquierda es igual a $\nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})$.
  • Se integra ambos lados de la ecuación en todo el espacio.
  • Se aplica el teorema de Gauss en el lado de la izquierda.

El resultado es: $$ \oint_{A}(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \cdot \mathbf{n} d a=-\int_{V}\left[\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right] d V -\int_{V}\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} d V $$

Pero resulta que: $$ dW/dt = -\int_{V}\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} d V$$ donde $dW/dt$ es la rapidez con que se disipa la energía EM por unidad de volumen en forma de calor.

$^{*}$El trabajo por unidad de tiempo es $d W / d t=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$. Sustituyendo por la fuerza de Lorentz $d W / d t=q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}] \cdot \mathbf{v}$. Ya que $[\mathbf{v} \times \mathbf{B}] \cdot \mathbf{v}=[\mathbf{v} \times \mathbf{v}] \cdot \mathbf{B}=0$ se obtiene que $\mathbf{F}=q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}$ que da lugar al término $\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$. Solo el campo eléctrico disipa energía EM.

Si asumimos que $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}$ y $\mathbf{B}=\mu_{0} \mu \mathbf{H}$ el primer integrando del primer término de la derecha resulta ser $(1 / 2)\left[\varepsilon_{0} \varepsilon|\mathbf{E}|^{2}+\mu_{0} \mu|\mathbf{H}|^{2}\right]$, que es la suma de la densidad de energía electromagnética.

En resumen:

  • El lado derecho de la ecuación es el ritmo de cambio de la energía EM en $V$.
  • El lado izquierdo es el flujo de energía hacia fuera o hacia adentro del volumen $V$.
  • La segunda integral (derecha) representa el ritmo de al que se disipa energía EM dentro de $V$ ($dW/dt$).

El flujo de energía se denota como $\mathbf{S}$ y se conoce como vector de Poynting. $$ \mathbf{S}=(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) $$

$^{*}$El rotacional de cualquier vector podría añadirse a $\mathrm{S}$ sin cambiar la ley de conservación. Por convenio se elige idéntico a cero.