<span xmlns:dct="http://purl.org/dc/terms/" property="dct:title">Python en ciencias e ingeniería: tutoriales basados en ejemplos</span> por <span xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" property="cc:attributionName">Sergio Gutiérrez Rodrigo y Adrián Navas Montilla</span> se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.
Ondas Electromagnéticas planas en distintos medios ¶
- La primera parte de este notebook contiene un resumen de la teoría que hay detrás de las Ondas Electromagnéticas (OEM).
- En el apartado Ondas planas en medios conductores se explican las propiedades de propagación de las OEM en estos medios mediante ejemplos numérios implementados con Python.
Ecuaciones separadas para $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$¶
No existen cargas ni corrientes libres: $$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=0 \\ \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=-\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=0\\ \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=\mu \sigma \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)\\ \end{aligned} $$
Se toma el rotacional de la ley de Faraday
$\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} =-\dfrac{\partial (\nabla \times\mathbf{B})}{\partial t}$
...
Ecuación de ondas:
$$\nabla^2 \mathbf{E} -\mu \sigma \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} =0 \\ \nabla^2 \mathbf{B} -\mu \sigma \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} =0 $$$\nabla^2 \psi -\mu \sigma \dfrac{\partial \psi}{\partial t}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} =0 $
donde $\psi$ es cada una de las componentes del campo eléctrico o magnético
Ondas planas en medios no conductores¶
$\nabla^2 \psi -\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} =0 $
La luz es una onda EM:
$\psi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ es una solución genérica de las ecuaciones de onda
Para $f(x-vt), w=x-vt \rightarrow (1-v^2\mu \varepsilon)\dfrac{\partial^2 f}{\partial w^2}=0$
Y por lo tanto: $$v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$$ donde:
- $\psi$ es una de las componentes del campo eléctrico o magnético
- Igual con $g(x+vt)$
- $v=c/n$ y $n=\sqrt {\varepsilon_r \mu_r}$
Si $\nabla^2 \psi=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} $ y $\psi(x,t)=X(x)T(t) \Rightarrow$
$\dfrac{d^2 X}{d x^2} +k^2 X=0$
$\dfrac{ d^2 T}{d t^2}+\omega^2 T=0$
donde $k^2=\dfrac{\omega^2}{v^2}$ es la relación de dispersión
...
Para una onda viajera en la dirección $x$ se llega a que:
$\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{\imath(kx - \omega t)}$
$\mathbf{B}=\mathbf{B}_0 e^{\imath(kx - \omega t)}$
Y para una dirección cualquiera:
$\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{\imath(\mathbf{k} \mathbf{r} - \omega t)}$
$\mathbf{B}=\mathbf{B}_0 e^{\imath(\mathbf{k} \mathbf{r} - \omega t)}$
siendo $\mathbf{k}=k_x\mathbf{\hat x}+k_y\mathbf{\hat y}+k_z\mathbf{\hat z}$
Medios no conductores
Las ecuaciones de Maxwell $$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=0 \\ \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=-\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=0\\ \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)\\ \end{aligned} $$
se pueden escribir entonces
$$ \begin{aligned} \mathbf{k} \cdot \mathbf{E} &=0 \\ \mathbf{k} \times \mathbf{E} &=\omega \mathbf{B} \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{B} &=0\\ \mathbf{k} \times \mathbf{B} &=- \omega \mu\varepsilon\mathbf{E}\\ \end{aligned} $$y por lo tanto $$ \mathbf{B}=\dfrac{k}{\omega}\mathbf{\hat k} \times \mathbf{E} $$
Casi siempre estaremos interesados en el promedio temporal de $\mathbf{S}$
- Asumiendo que los campos son armónicos, lineales y no dispersivos $$ \langle -\int_{V}\left[\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right] d V \rangle= 0$$
Además, suponemos que la densidad de energía solo tiene en cuenta las corrientes de polarización y magnetización que están libres de pérdidas, es decir, todas las pérdidas están asociadas con el término $\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$. De ahí que el promedio temporal resulta ser: $$ \oint_{A}\langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle \cdot \mathbf{n} d a=-\frac{1}{2} \int_{V} \operatorname{Re}\left\{\mathbf{J}^{*}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})\right\} d V $$ donde hemos usado notación compleja. El término de la derecha define la disipación de energía media dentro del volumen $V$.
$\langle\mathbf{S}\rangle$ representa el promedio temporal del vector de Poynting $$ \langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{\mathbf{E}(\mathbf{r}) \times \mathbf{H}^{*}(\mathbf{r})\right\} $$ La magnitud $\langle\mathbf{S}\rangle$ se conoce como intensidad $I(\mathbf{r})=|\langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle|$.
En el campo lejano, es decir, lejos de las fuentes y los límites materiales, el campo electromagnético puede aproximarse localmente mediante una onda plana. Los campos eléctrico y magnético están en fase, perpendiculares entre sí, y la relación de sus amplitudes es constante.
Entonces $\langle\mathbf{S}\rangle$ se puede expresar por el campo eléctrico solo como $$ \langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle=\frac{1}{2} \frac{1}{Z_{i}}|\mathbf{E}(\mathbf{r})|^{2} \mathbf{n}_{r}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} n_{i}|\mathbf{E}(\mathbf{r})|^{2} $$ donde $\mathbf{n}_{r}$ representa el vector unitario en la dirección radial, $n_{i}=\sqrt{\varepsilon_{i} \mu_{i}}$ es el índice de refracción, y $Z_{i}$ es la impedancia.
La integral de superficie $\langle\mathbf{S}\rangle$ se corresponde con la potencia total generada o disipada en el interior de la superficie cerrada, esto es, $$ \bar{P}=\oint_{A}\langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle \cdot \mathbf{n} d a=\oint_{A} I(\mathbf{r}) d a $$
Se puede demostrar también que:
$$\langle\mathbf{S}(\mathbf{r})\rangle=\langle u(\mathbf{r})\rangle \mathbf{v}(\mathbf{r})$$donde:
- $\langle u(\mathbf{r})\rangle$ es el promedio de la densidad total de energía. +$\mathbf{v}(\mathbf{r})$ la velocidad de fase en el medio.
Ondas planas en medios conductores¶
Las ecuaciones de Maxwell
$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=0 \\ \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=-\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=0\\ \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &=\mu \sigma \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)+\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)\\ \end{aligned} $
se pueden escribir entonces
$ \begin{aligned} \mathbf{k} \cdot \mathbf{E} &=0 \\ \mathbf{k} \times \mathbf{E} &=\omega \mathbf{B} \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{B} &=0\\ \mathbf{k} \times \mathbf{B} &=- (\imath \mu\sigma +\omega \mu\varepsilon)\mathbf{E}\\ \end{aligned} $
y por lo tanto $ \mathbf{B}=\dfrac{k}{\omega}\mathbf{\hat k} \times \mathbf{E} $
$\nabla^2 \psi -\mu \sigma \dfrac{\partial \psi}{\partial t}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} =0 $
$\psi$ es cada una de las componentes del campo eléctrico o magnético
Para $\psi=\psi_0 e^{\imath(kx - \omega t)}$ encontramos que $k^2=\omega^2\mu \varepsilon+\imath \omega \mu\sigma $
Si se toma $k=\pm (k_r+\imath k_i) \Rightarrow $ $\psi=\psi_0 e^{-k_i x} e^{\imath(k_rx - \omega t)}$
Discusión sobre:
Longitud de onda $\lambda = 2 \pi/k_r$
Profundidad de penetración $\delta =1/k_i$
Índice de refracción $n=n_r+\imath n_i=c k/\omega$
Velocidad en el medio $v=c/n$
Desfase entre $\mathbf{B}$ y $\mathbf{E}$
Definición del factor de calidad $Q=\dfrac{\omega \varepsilon}{\sigma}$ e interpretación física $Q=\dfrac{\vert \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}\vert}{\vert \mathbf{J_{cond}} \vert}$
- Distintos regímenes según el factor de calidad $Q \rightarrow$ Aislante vs Conductor.
Modelo microscópico de la conductividad.
$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=-e\mathbf{E}-\gamma\mathbf{v}$$Para un campo estático la conductividad resulta ser: $$ \sigma_0=\dfrac{ne^2}{\gamma}$$
Para la excitación mediante una OEM de la forma $\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{\imath(\mathbf{k} \mathbf{r} - \omega t)}=\mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-\imath \omega t}$ y teniendo en cuenta que:
- $\mathbf{v}=\mathbf{v}_0 e^{-\imath \omega t}$
- $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$
- $\mathbf{J}=-ne\mathbf{v}$
Entonces: $$ \sigma(\omega)=\sigma_R+\imath\sigma_I=\dfrac{ne^2}{\gamma-\imath m \omega}=\dfrac{ne^2/\gamma}{1-\imath m \omega/\gamma}=\dfrac{\sigma_0}{1-\imath(\sigma_0 m\omega/ne^2)}$$
Esta conductividad da lugar a una relación de dispersión:
$$k^2=\omega^2\mu(\varepsilon+\imath \sigma(\omega)/\omega)$$tal que $$ \begin{aligned} &k_r=\omega \sqrt{\dfrac{\mu \varepsilon}{2}}[\sqrt{1+(\dfrac{\sigma_R(\omega)}{\omega \varepsilon(\omega)})^2}+1]^{1/2} \\ &k_i=\omega \sqrt{\dfrac{\mu \varepsilon}{2}}[\sqrt{1+(\dfrac{\sigma_R(\omega)}{\omega \varepsilon(\omega)})^2}-1]^{1/2} \end{aligned}$$ donde $\varepsilon(\omega)=\varepsilon-\dfrac{\sigma_I}{\omega}$
Límite $m \omega/\gamma \lll 1$ ó $\omega\lll ne^2/\sigma_0 m$
from math import pi
eps0=8.8541878176e-12 #F/m
e=1.6e-19 # C
m=9.11e-31 # kg
#Cobre
n=8.5e28 # m-3
sigma0=6.0e7 #(ohm-metro)-1
def sigma(omega):
resigma=sigma0/(1+(sigma0*m*omega/(n*e**2))**2)
imsigma=resigma*(sigma0*m*omega/(n*e**2))
return resigma,imsigma
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 1000
#Microondas
nuini=300.0e6 #Hz (Microondas, lambda=1m)
nufin=3.0e12 #Hz (Terahercios, lambda=100mu)
freq = np.linspace(nuini, nufin, N)
sigma_real,sigma_imag=sigma(2.0*pi*freq)
# Re(Sigma)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq,sigma_real/sigma0)
ax.set_xlabel(r'$\nu$(Hz)')
ax.set_ylabel("$Re(\sigma)/\sigma_0$")
ax.set_ylim(0,1.2)
plt.show()
# Im(Sigma)
fig, ax = plt.subplots() #genera el objeto "figura"
ax.plot(freq,sigma_imag/sigma0) #pinta la gráfica
ax.set_xlabel(r'$\nu$(Hz)')
ax.set_ylabel("$Im(\sigma)/\sigma_0$")
plt.show()
Límite $m \omega/\gamma \ggg 1$ ó $\omega\ggg ne^2/\sigma_0 m$
$ \sigma(\omega) \approx \imath \left ( \dfrac{ne^2}{m\omega} \right )$
$k^2=\omega^2\mu\varepsilon\left (1- \dfrac{ne^2}{m \varepsilon \omega^2} \right )=\omega^2\mu\varepsilon_0\left (\varepsilon_r-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2} \right )$
$\omega_p^2=\dfrac{ne^2}{m \varepsilon_0}$ es la frecuencia de plasma.
En materiales no magnéticos como los metales $\mu_r \approx 1$ y por lo tanto: $k^2=\dfrac{\omega^2}{c^2}\left (\varepsilon_r-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2} \right )$
Y por lo tanto el índice de refracción es $n^2=\varepsilon(\omega)=\varepsilon_r-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}$
def epsilon(omega):
eps_r=1.0
wp=np.sqrt(n*e**2/(m*eps0))
print("Frecuencia de plasma (Hz)",wp)
print("Longitud de onda (nm)",round(2.0*pi*c*1e9/wp,1))
return eps_r-(wp/omega)**2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 1000
#VISIBLE INFRARROJO
nuini=30.0e12 #Hz (INFRARROJO, lambda=1 micra)
nufin=750.0e12 #Hz (VISIBLE lambda=400 nm)
freq = np.linspace(nuini, nufin, N)
eps=epsilon(2.0*pi*freq)
#Re(epsilon)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq,eps)
ax.set_xlabel(r'$\nu$(Hz)')
ax.set_ylabel("$Re(\epsilon)$")
plt.show()
from math import pi
#Cobre
e=1.6e-19 # C
m=9.11e-31 # kg
n=8.5e28 # m-3
sigma0=6.0e7 #(ohm-metro)-1
def sigma(omega):
resigma=sigma0/(1+(sigma0*m*omega/(n*e**2))**2)
imsigma=resigma*(sigma0*m*omega/(n*e**2))
return resigma,imsigma
nu=750.0e12
omega=2.0*pi*nu
c=299792458 #m/s
print(c/nu)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 1000
#VISIBLE INFRARROJO
nuini=30.0e12 #Hz (INFRARROJO, lambda=1 micra)
nufin=750.0e12 #Hz (VISIBLE lambda=400 nm)
freq = np.linspace(nuini, nufin, N)
sigma_real,sigma_imag=sigma(2.0*pi*freq)
sigma_aprox=n*e**2/(m*2.0*pi*freq)
#Re(Sigma)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq,sigma_real)
ax.set_xlabel(r'$\nu$(Hz)')
ax.set_ylabel("$Re(\sigma)$")
plt.show()
#Im(Sigma)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq,sigma_imag,label='exacta')
ax.plot(freq,sigma_aprox,'--',label='aproximada')
ax.set_xlabel(r'$\nu$(Hz)')
ax.set_ylabel("$Im(\sigma)$")
plt.legend()
plt.show()
