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<span xmlns:dct="http://purl.org/dc/terms/" property="dct:title"></span> The following notes written by <span xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" property="cc:attributionName">Sergio GutiĆ©rrez Rodrigo (sergut@unizar.es) </span>. Distributed under License Creative Commons AtribuciĆ³n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional

Departamento de FĆ­sica Aplicada
Universidad de Zaragoza
Instituto de Nanociencia y Materiales de AragĆ³n (INMA)
C/ Pedro Cerbuna, 12, 50009, Zaragoza, EspaƱa

Óptica - Tema 1 - Fraunhofer Diffraction: circular aperture

image.png

EcuaciĆ³n general: $$E_{cP'}=cte \int_\sigma e^{-\imath k [(\alpha_s-\alpha_p)\xi+(\beta_s-\beta_p)\eta]}d\sigma$$

Planteamiento del problema:

  1. Fuente en el eje de simetrĆ­a ($z$): $\alpha_s=\beta_s=0$

  2. Diferencial en coordenadas cilĆ­ndricas: $$d\sigma=\rho d\rho d\psi$$

  3. AdemƔs: $$\xi=\rho \cos(\psi)$$ $$\eta=\rho \sin(\psi)$$

  4. Por simetrĆ­a se puede tomar $\psi'=0 \rightarrow \beta_p=0$ (coordenadas en la pantalla)

  5. $\alpha_p=\sin(\theta)$

EcuaciĆ³n final difracciĆ³n por abertura circular de radio $R$: $$E_{cP'}=cte \int_0^R \rho d\rho \int_0^{2\pi}e^{\imath k \rho \sin(\theta)\cos(\psi)}d\psi$$

En la situaciĆ³n habitual donde el objeto difractor se encuentra entre dos lentes convergentes: $$\sin(\theta)\approx \dfrac{\rho'}{f'}$$ donde $f'$ es la focal de la lente colectora y $\rho'$ la distancia al eje desde las coordenadas ${X'Y'}$, en el plano focal imagen de la lente colectora.

La integral resulta ser: $$E_{cP'}=cte \int_0^R \rho d\rho \int_0^{2\pi}e^{\imath k \dfrac{\rho \rho'}{f'}\cos(\psi)}d\psi$$

Utilizando la definiciĆ³n de la funciĆ³n de Bessel de orden $0$: $$J_0(u)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\imath u \cos(\psi)}d\psi$$

Tomando $u=k\dfrac{\rho \rho'}{f'}$

Resulta que:

$$E_{cP'}=cte \int_0^R \rho d\rho [2\pi J_0(k\dfrac{\rho \rho'}{f'})]$$

Utilizando la definiciĆ³n de la funciĆ³n de Bessel de orden $1$: $$\dfrac{R}{a}J_1(aR)=\int_0^R J_0(a\rho)\rho d\rho$$

Encontramos que:

$$E_{cP'}=cte \times 2\pi\dfrac{J_1(aR)R}{a}$$

donde $a=k\dfrac{\rho'}{f'}$

Es habitual definir $$Z=k\dfrac{\rho' R}{f'}=\dfrac{\pi}{\lambda}\dfrac{\rho' D}{f'}$$ donde $D=2R$

El resultado final, salvo constante de proporcionalidad ($\in \mathbb{C}$) es:

$$E_{cP'} =cte R^2 [\dfrac{2 J_1(Z)}{Z}]$$

y por lo tanto la intensidad serĆ”

$$I_{P'}=E_{cP'} E^*_{cP'} =cte R^4(\dfrac{2 J_1(Z)}{Z})^2$$

Note: $J_1(Z)/Z \rightarrow 1/2 \text{ for } Z \rightarrow 0$

Bessel functions (Bessel function of the first kind of real order and complex argument)

Diffraction by an aperture (numerical)

For $r_p,r_s \gg \lambda \Longrightarrow$ $E_{cP}=\dfrac{\imath k A}{4\pi} \int_\sigma \dfrac{e^{-\imath k (r_p+r_s)}}{r_p r_s} \left( \cos(\theta)+\sin(\chi)\right ) d\sigma$

image.png

Fraunhofer diffraction by an aperture (numerical)

For $l_p,l_s \gg \text{aperture dimensions} \Longrightarrow$ $E_{cP}=cte \int_\sigma e^{-\imath k [(\alpha_s-\alpha_p)\xi+(\beta_s-\beta_p)\eta]} d\sigma$

image.png

Fraunhofer diffraction (analytic)

Parameters (geometry)

Infrarrojo lejano con abertura rectangular

Diffraction pattern for $\varphi=0$ (both analytic and numerical)

Plot static figure (both analytic and numerical)

Plot dynamic figure (analytic)

2D diffraction pattern (analytic)