Ejemplo resuelto: cálculo de líneas de corriente, trazas y trayectorias

Asignatura: Mecánica de Fluidos

Departamento: Ciencia y Tecnología de Materiales y Fluidos

Centro: Escuela Universitaria Politécnica de Teruel

Profesor: Adrián Navas Montilla

Enunciado (de la colección de problemas MF GIEA del Departamento de Ciencia y Tecnología de Materiales y Fluidos)

Disponemos de una fuente ornamental que genera un flujo no estacionario descrito por el siguiente campo de velocidad:

$$\mathbf{v}=u_0\sin\left(w\left(t-\frac{y}{v_0}\right)\right)\mathbf{\hat{i}}+v_0\mathbf{\hat{j}}$$

Se pide lo siguiente:

a.1) Calcular la expresión general de las líneas de corriente

a.2) Calcular la expresión de la línea de corriente que pasa por $(x,y)=(0,0)$ en el instante $t=0$.

b.1) Calcular la expresión general de las trayectorias de la partículas.

b.2) Calcular la trayectoria de la partícula que pasa por el origen en $t=\pi/2w$.

c) Hacer una representación gráfica de las anteriores

a) Cálculo de las líneas de corriente (streamlines)

Las líneas de corriente son aquellas curvas tangentes al vector velocidad. Por lo tanto, cumplirán:

$$ d\mathbf{r}\times \mathbf{v}=0$$

donde $d\mathbf{r}=(dx,dy)$ y $\mathbf{v}=(u,v)$.

Se calculan mediante la siguiente ecuación diferencial: $$ \frac{dx}{dy}= \frac{u}{v}$$

Vamos a utilizar Python para integrar esta ecuación diferencial y obtener $x(y)$, que representa las lineas de corriente.

Lo primero que debemos hacer es cargar las librerías necesarias de Python. Para este problema, en particular, será de gran utilidad la librería sympy que permite realizar cálculo simbólico.

Y después definiremos las variables simbólicas necesarias (aquellas con las que tendremos que trabajar y que no se les ha asignado ningún valor, por lo que son "símbolos").

Ahora definiremos las componentes de la velocidad, $u$ y $v$, así como la ecuación diferencial de las trayectorias. Para esto último usaremos la función equality Eq(a,b) que permite escribir una igualdad del tipo $a=b$. Para expresar la derivada $df(y)/dy$ se utiliza f(y).diff(y).

Ahora que ya hemos definido la ecuación diferencial y la hemos guardado en la variable eq, vamos a resolverla. Para ello utilizamos la función dsolve:

Como podemos observar, la ecuación de la linea de corriente depende de una constante $C_1$, producto de la integración. Esto nos indica que existen infinitas líneas de corriente.

Si queremos por ejemplo obtener la línea de corriente que pasa por $(x,y)=(0,0)$, lo primero que haremos será sustituir en la solución (almacenada en la variable edo_sol) los valores $x=y=0$. Para ello haremos lo siguiente:

Y ahora despejaremos $C_1$ de esta ecuación:

Finalmente, sustituimos el valor obtenido de $C_1$ en la solución (almacenada en edo_sol), obteniendo:

Si ahora queremos obtener la línea de corriente en el tiempo $t=0$:

b) Cálculo de las trayectorias (pathlines)

Las trayectorias vienen dadas por los puntos del plano por los que ha pasado una partícula fluida. Se calculan mediante la ecuación:

$$ \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}= \mathbf{v}(\mathbf{r}(t),t)$$

que en realidad es un sistema de dos ecuaciones:

$$ \frac{dx(t)}{dt}= u(x,y,t)$$$$ \frac{dy(t)}{dt}= v(x,y,t)$$

Para comenzar vamos a importar la función dsolve_system del paquete Sympy que permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales:

Ahora vamos a definir las coordenadas de las trayectorias como variables simbólicas de tipo "función". Además, vamos a definir las coordenadas iniciales y el tiempo inicial como variables simbólicas también. Finalmente, también definimos las dos ecuaciones diferenciales que componen el sistema:

Para obtener las trayectorias debemos resolver el sistema de ecuaciones mediante la integración de cada una de ellas: $$ \mathbf{r}(t)= \mathbf{r}_0 + \int_{t_0}^{t}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t),t)dt$$

donde debemos tener especial cuidado en la dependencia temporal de los argumentos de las funciones $u$ y $v$ (las ecuaciones de las trayectorias no son independientes, forman un sistema y están "acopladas").

Gracias a la función dsolve_system, podemos obtener facilmente la solución del sistema de la siguiente manera:

De la misma manera que en el cálculo de las líneas de corriente, si queremos obtener una trayectoria particular debemos dar valor a las constantes de integración $C_1$ y $C_2$.

En este caso, en vez de dar un valor numérico a $x_0$, $y_0$ y $t_0$, vamos a dejar la solución en función de éstas (que hemos declarado previamente como variables simbólicas para ello.

Seguimos el mismo procedimiento que en el cálculo de las líneas de corriente:

lo que podemos reescribir como:

$$\frac{x_{tr}-x_0}{y_{tr}-y_0} = \frac{u_0}{v_0}\sin\left(wt_0-\frac{wy_0}{v_0} \right)$$

Si queremos calcular la trayectoria de la partícula que pasa por el origen en $t=\pi/2w$, simplemente sustituiremos $t_0=\pi/2w$, $x_0=y_0=0$.

De donde se observa la relación:

$$x/y=u_0/v_0$$

c) Representación gráfica

Animación